Question

如图，曲线C₁，C₂都是以原点O为对称中心、离心率均为e的椭圆．线段MN是C₁的短轴，是C₂的长轴，其中M点坐标为（0，1），直线l：y=m，（0＜m＜1）与C₁交于A，D两点，与C₂交于B，C两点．
（Ⅰ）若m=

3

2

，AC=

5

4

，求椭圆C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设C₁的方程为

x2

a2

+y2=1，C₂的方程为

x2

b2

+y2=1，由C₁，C₂的离心率相同，可建立关于a，b的方程，结合|AC|=

5

4

，建立关系式求出a、b之值，进而可得椭圆C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）由OB∥AN得k_OB=k_AN，由此建立m，a的关系式，代入化简并用椭圆离心率表示a，进而可得由离心率e表示m的式子，利用m的范围解关于e的不等式，可得离心率e的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设C₁的方程为

x2

a2

+y2=1，C₂的方程为

x2

b2

+y2=1，
其中a＞1，0＜b＜1
∵C₁，C₂的离心率相同，所以

a2-1

a2

=1-b²，解之得ab=1，
∴C₂的方程为a²x²+y²=1．
当m=

3

2

时，A（-

1

2

a，

3

2

），C（

1

2a

，

3

2

）
又∵|AC|=

5

4

，∴

1

2a

-（-

1

2

a）=

5

4

，
解之得a=

1

2

（不符合题意，舍去）或a=2，从而得到b=

1

a

=

1

2

∴C₁、C₂的方程分别为

x2

4

+y2=1、4x²+y²=1．
（Ⅱ）A（-a

1-m2

，m），B（-

1

a

1-m2

，m）．
∵OB∥AN，∴k_OB=k_AN，可得

m

- 1 a 1-m2

=

m+1

-a 1-m2

，解之得m=

1

a2-1

∵e²=

a2-1

a2

，得a²=

1

e2-1

，可得m=

1-e2

e2

．
∵0＜m＜1，∴得0＜

1-e2

e2

＜1，解得

2

2

＜e＜1．

点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，及椭圆性质的综合应用等知识，属于中档题．解答本题要求考生具备综合运用数字知识的能力．