函数f(其中A＞0.|φ|＜$\frac{π}{2}$)的图象如图所示.把函数f(x)的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位.得到函数y=g(x)的图象．得解析式.图象在$x∈[0.\frac{π}{2}]$时有两个公共点.其横坐标分别为x1.x2.求g(x1+x2)的值,(3)已知△ABC内角A.B.C的对边分别为a.b.c.且c=3.g(C)=1．若向� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求y=g（x）得解析式，
（2）若直线y=m与函数g（x）图象在$x∈[0，\frac{π}{2}]$时有两个公共点，其横坐标分别为x₁，x₂，求g（x₁+x₂）的值；
（3）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，g（C）=1．若向量$\overrightarrow m=（1，sinA）$与$\overrightarrow n=（2，sinB）$共线，求a、b的值．

分析（1）由图象可求T，利用周期公式可求ω，又$2×\frac{π}{3}+ϕ=π$，可求φ，由图象变换，得y=g（x）得解析式．
（2）由函数图象的对称性，即可求得$g（{x_1}+{x_2}）=g（\frac{2π}{3}）=-\frac{1}{2}$．
（3）由题意可得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，由范围0＜C＜π，可求$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，求得C的值，由向量共线可求sinB-2sinA=0．由正弦定理 $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得b=2a，由余弦定理，得$9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，联立即可解得a，b的值．

解答（本题满分为12分）
解：（1）由函数f（x）的图象，$T=4（\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}）=\frac{2π}{ω}$，得ω=2，
又$2×\frac{π}{3}+ϕ=π$，
可得：$ϕ=\frac{π}{3}$，
所以$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$，…（2分）
由图象变换，得$g（x）=f（x-\frac{π}{4}）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，…（4分）
（2）由函数图象的对称性，有$g（{x_1}+{x_2}）=g（\frac{2π}{3}）=-\frac{1}{2}$．…（6分）
（3）∵$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜C＜π，$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
∴$C=\frac{π}{3}$．     …（7分）
∵$\overrightarrow m与\overrightarrow n$共线，
∴sinB-2sinA=0．
由正弦定理  $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得b=2a，①…（9分）
∵c=3，由余弦定理，得$9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，②…（11分）
解方程组①②，得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=2\sqrt{3}\end{array}\right.$．       …（12分）

点评本题主要考查了由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数图象变换规律，三角函数图象的对称性，正弦定理，余弦定理，平面向量共线的性质等知识的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．