Question

16．如图所示，∠PAQ是某海湾旅游区的一角，其中∠PAQ=120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米；AC是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．
（1）若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为多少米？
（2）在（1）的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？

Answer 1

分析 （1）设AB=xm，AC=ym，则800x+400y=1200000，即2x+y=3000，表示面积，利用基本不等式，可得结论；
（2）利用向量方法，求出AD，即可得出结论．

解答 解：（1）设AB=xm，AC=ym，则800x+400y=1200000，即2x+y=3000，
S_△ABC=$\frac{1}{2}xysin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}xy$=$\frac{\sqrt{3}}{8}•2x•y≤\frac{\sqrt{3}}{8}•（\frac{2x+y}{2}）^{2}$=281250$\sqrt{3}$m³，
当且仅当2x=y，即x=750m，y=1500m时等号成立，
∴△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为750米和1500米；
（2）在（1）的条件下，$\overline{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{4}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=250000，
∴|$\overrightarrow{AD}$|=500，
∴1000×500=500000元，即建直线通道AD还需要50万元．

点评 本题考查三角形中面积的求法，考查向量知识的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．