Question

9．已知函数f（x）=e^x-ax，x∈R
（1）若a=2，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞1时，求函数f（x）在[0，a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，写出f（x），求出f（x）在x=0处的斜率，利用点斜式直接写出切线方程即可；
（2）首先求出导函数零点x=lna，构造函数M（a）=a-lna，证明M（a）在（1，+∞）上恒大于0，从而分类讨论判断函数单调性，求其最小值．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f'（x）=e^x-2．
即有f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f'（0）=-1．
即有f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y-1=-（x-0），即x+y-1=0；
（2）由于f（x）=e^x-ax，f'（x）=e^x-a．
令f'（x）=0，解得x=lna＞0．
当a＞1，令M（a）=a-lna，M'（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$＞0；
M（a）在（1，+∞）递增，又M（1）=1-ln1=1，则M（a）=1-lna＞0；
即有a＞1，a＞lna．
当0≤x≤lna时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当lna≤x＜a时，f'（x）＞0，f（x）递增；
即在x=lna处f（x）取得最小值；
∴f（x）_min=e^lna-alna=a-alna．

点评 本题主要考查导数与切线斜率之间的关系，利用导数研究函数的单调性与最值问题，属中等题．