题目内容

6．已知函数f（x）=lnx-（$\frac{1}{2}$）x+1，则不等式f（2x-3）＜$\frac{1}{2}$的解集为（　　）
A．{x|{$\frac{3}{2}$＜x＜2}B．{x|${\frac{1}{2}$＜x＜2}C．{x|x＜1}D．{x|-1＜x＜$\frac{3}{2}}\right.$}

分析 判断f（x）的单调性，当x=1时，可得f（1）=$\frac{1}{2}$，不等式f（2x-3）＜$\frac{1}{2}$转化为f（2x-3）＜f（1），利用单调性求解．

解答 解：函数f（x）=lnx-（$\frac{1}{2}$）x+1，
∵y=lnx是增函数，y=$-（\frac{1}{2}）^{x}$也是增函数，
∴函数f（x）=lnx-（$\frac{1}{2}$）x+1是定义域（0+∞）上的单调增函数．
当x=1时，可得f（1）=$\frac{1}{2}$，
不等式f（2x-3）＜$\frac{1}{2}$转化为f（2x-3）＜f（1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＜1}\\{2x-3＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{3}{2}$＜x＜2．
故选A．

点评 本题考察了函数单调性的判断，“增+增等于增”和利用单调性求解不等式问题．属于中档题．

练习册系列答案
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17．设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f[g（t）]的值域仍是A，那么称x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换．设f（x）=log2x的定义域为[2，8]，已知x=g（t）=$\frac{{m{t^2}-nt+m}}{{{t^2}+1}}（{m∈R，n∈{R_+}}）$是y=f（x）的一个等值变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，则m=5，n=6．
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16．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，AF2⊥x轴，若$\frac{{|A{F_1}|}}{{|A{F_2}|}}=\frac{5}{3}$，则椭圆的离心率等于（　　）
A．2B．$\frac{1}{5}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{3}$

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