Question

11．如图四棱锥S-ABCD，底面四边形ABCD满足条件∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2$\sqrt{2}$，AD=2，侧面SAD垂直于底面ABCD，SA=2，
（1）若SB上存在一点E，使得CE∥平面SAD，求$\frac{SE}{SB}$的值；
（2）求此四棱锥体积的最大值；
（3）当体积最大时，求二面角A-SC-B大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过C作AD的平行线CF，交AB于F，过F作SA的平行线FE，交SB于E，则点E就是所求的点，由此能求出结果．
（2）当SA⊥平面ABCD时，此四棱锥体积最大，由此能求出此四棱锥体积的最大值．
（3）当体积最大时，SA⊥平面ABCD，连结AC，取AC的中点O，过O作OK⊥SC，垂足为K，连结BK，由三垂线定理得BK⊥SC，∠BKO是二面角A-SC-B的平面角，由此能求出当体积最大时，二面角A-SC-B的余弦值．

解答 解：（1）过C作AD的平行线CF，交AB于F，
过F作SA的平行线FE，交SB于E，
∵AD∥CF，SA∥FE，AD∩AS=A，CF∩EF=F，
AD，AS?平面ADS，CF，EF?平面CEF，
∴平面ADS∥平面CEF，
∵CE?平面CEF，∴CE∥平面SAD，
∵四棱锥S-ABCD，底面四边形ABCD满足条件∠DAB=90°，
∠ADC=135°，AB=5，CD=2$\sqrt{2}$，AD=2，侧面SAD垂直于底面ABCD，SA=2，
∴AF=AD=2，CF=4，BF=5-2=3，
∴$\frac{SE}{SB}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{2}{5}$．
（2）当SA⊥平面ABCD时，此四棱锥体积最大，
∵SA=2，AF=AD=2，CF=4，BF=5-2=3，∠DAB=90°，
∴S_{四边形ABCD}=S_梯形AFCD+S_△BCF
=$\frac{1}{2}（2+4）×2+\frac{1}{2}×4×3$=12，
∴此四棱锥体积的最大值V=$\frac{1}{3}×{S}_{四边形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×12×2$=8．
（3）当体积最大时，SA⊥平面ABCD，连结AC，取AC的中点O，
∵BF=3，CF=4，BF⊥CF，∴BC=5，
∴BA=BC=5，∴BO⊥AC，
∵SA⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，∴BO⊥SA，
∵SA∩AC=A，∴BO⊥平面SAC，
过O作OK⊥SC，垂足为K，连结BK，
则由三垂线定理得BK⊥SC，
∴∠BKO是二面角A-SC-B的平面角，
AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，SC=$\sqrt{A{C}^{2}+S{A}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵S_△SOC=S_△SAC-S_△SAO，
∴$\frac{1}{2}×SC×OK=\frac{1}{2}×SA×AC-\frac{1}{2}×SA×AO$，
∴$\sqrt{6}$×OK=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{5}-\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，∴OK=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$，
∴BK=$\sqrt{O{K}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$，
∴cos∠BKO=$\frac{OK}{BK}$=$\frac{1}{5}$．
∴当体积最大时，二面角A-SC-B的余弦值为$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查满足条件的点的位置的确定及求法，考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．