Question

设f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）+g（x）在x=1处的切线方程
（2）如果对任意的s，t∈[

1

2

，2]，恒有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出导数，利用导数的几何意义，能求出曲线y=f（x）+g（x）在x=1处的切线方程
（2）由导数性质求出g（x）_max=g（2）=1．当a≥1时，且x∈[

1

2

，2]，f（x）=

a

x

+xlnx≥

1

x

+xlnx，设h（x）=

1

x

+xlnx，h′(x)=-

1

x2

+lnx+1，h′（1）=0，由此利用导数性质能求出当a≥1时，对任意的s，t∈[

1

2

，2]，恒有f（s）≥g（t）成立．

解答： 解：（1）当a=2时，y=f（x）+g（x）=

2

x

+xlnx+x³-x²-3，
y′=-

2

x2

+lnx+1+3x²-2x，
x=1时，y=2+1-1-3=-1，y′=-2+1+3-2=0，
∴曲线y=f（x）+g（x）在x=1处的切线方程为：y+1=0．
（2）∵g（x）=x³-x²-3，∴g′（x）=3x²-2x，
x∈（0，

2

3

）时，g′（x）＜0，
又g（

1

2

）=-

25

8

，g(

2

3

)=-

85

27

，g（2）=1，
∴g（x）_max=g（2）=1．
当a≥1时，且x∈[

1

2

，2]，f（x）=

a

x

+xlnx≥

1

x

+xlnx，
设h（x）=

1

x

+xlnx，h′(x)=-

1

x2

+lnx+1，h′（1）=0，
当x∈[

1

2

，1]，h′（x）＜0，
∴h（x）=

1

x

+xlnx在[

1

2

，1]上递减，在（1，2]上递增，
∴h（x）_min=h（1）=1，即h（x）≥1，
即当a≥1时，且x∈[

1

2

，2]，f（x）≥1成立，
∴f（x）≥g（2），∴f（x）≥g（x），
∴当a≥1时，对任意的s，t∈[

1

2

，2]，恒有f（s）≥g（t）成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．