Question

14．在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与路面垂直，且∠ABC=120°，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中的阴影部分所示，∠ACD=60°，AD=24米，∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）．
（Ⅰ）求灯柱AB的高度（用ξ表示）；
（Ⅱ）求灯柱AB与灯杆BC长度之和的最小值，及取最小值时θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件求得∠BAC=60°-θ，∠CAD=30°+θ，∠ADC=90°-θ．△ACD中，利用正弦定理求得AC的值，在△ABC中，由正弦定理求得灯柱AB的高度的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理求得BC的值，再根据 S=AB+BC=8$\sqrt{3}$+16sin（2θ+60°）．根据30°≤θ≤45°，利用正弦函数的定义域和值域求得S的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵∠ABC=120°，∠ACB=θ，∴∠BAC=60°-θ，
∵∠BAD=90°，∴∠CAD=30°+θ，
∵∠ACD=60°，∴∠ADC=90°-θ，
在△ACD中，∵$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，∴$AC=\frac{24cosθ}{{sin{{60}°}}}=16\sqrt{3}cosθ$，
在△ABC中，∵$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sinB}$，∴$AB=\frac{ACsinθ}{{sin{{120}°}}}=\frac{{16\sqrt{3}sinθcosθ}}{{sin{{120}°}}}=16sin2θ$，
即灯柱AB的高度为16sin2θ米．…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，∵$\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AC}{sinB}$，
∴$BC=\frac{{ACsin（{{60}°}-θ）}}{{sin{{120}°}}}=32cosθsin（{60°}-θ）=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}cos2θ-8sin2θ$，
即$AB+BC=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}cos2θ+8sin2θ=8\sqrt{3}+16sin（2θ+{60°}）$，
∵30°≤θ≤45°，∴120°≤2θ+60°≤150°，
∴当θ=45°时，灯柱AB与灯杆BC长度之和的最小值为$8\sqrt{3}+8$米．…（12分）

点评 本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．