Question

已知E、F分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，设α为二面角D-AE-D₁的平面角，求sinα=（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  5

  3

• C、

  2

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：建立空间坐标系，求出平面AEFD₁的法向量和平面AECD的一个法向量，代入向量夹角问题，是解答的关键．

解答： 解：建立如图所示的空间坐标系，

令正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则

AE

=（2，1，0），

AD1

=（0，2，2），
设平面AEFD₁的法向量为

m

=（x，y，z），
则由

m • AE =0 m • AD1 =0

得

2x+y=0 2y+2z=0

，
令x=1，则y=-2，z=2，
故

m

=（1，-2，2），
又由

AA1

=（0，0，2）为平面AECD的一个法向量，α为D-AE-D的平面角，
∴cosα=

| AA1 • m |

| AA1 |•| m |

=

4

3•2

=

2

3

，
故sinα=

5

3

，
故选：B

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．