Question

如图，在几何体P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2.

(1)当AD＝2时，求证：平面PBD⊥平面PAC；

(2)若PC与AD所成的角为45°，求几何求P－ABCD的体积．

Answer 1

[解析]　(1)证明：当AD＝2时，四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC.

∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴PA⊥BD.

又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

∵BD平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC.

(2)解：PC与AD成45°角，AD∥BC，

则∠PCB＝45°.

∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAB，PB平面PAB.

∴BC⊥PB.

∴∠CPB＝90°－45°＝45°.

∴BC＝PB＝2.

∴几何体P－ABCD的体积为×(2×2)×2＝.