Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．

(1)求证：FH∥平面EDB；

(2)求证：AC⊥平面EDB；

(3)求四面体B－DEF的体积．

Answer 1

[解析]　(1)证明：设AC与BD交于点G，联结EG、GH.

则G为AC中点，∵H是BC中点，

∴GH綊AB，又∵EF綊AB，

∴四边形EFHG为平行四边形．∴FH∥EG.

又EG⊂平面EDB，而FH⊄平面EDB，

∴FH∥平面EDB.

(2)证明：∵EF∥AB，EF⊥FB.∴AB⊥FB.

又四边形ABCD为正方形，

∴AB⊥BC，又FB∩BC＝B，∴AB⊥平面BFC.

∵FH⊂平面BFC，∴AB⊥FH.

又∵FB＝FC，H是BC中点，∴FH⊥BC.

又AB∩BC＝B，∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC.

又EG∥FH，∴EG⊥AC，

又AC⊥BD，BD∩EG＝G，∴AC⊥平面EDB.

(3)∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F，

∴BF⊥平面CDEF，

即BF⊥平面DEF.

∴BF为四面体B—DEF的高．

又∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝.

四边形CDEF为直角梯形，且EF＝1，CD＝2.

∴S_△DEF＝(1＋2)×－×2×＝