题目内容
6．由曲线y=xa（a为常数，且a＞0），直线y=0和x=1围成的平面图形的面积记为${∫}_{0}^{1}$xadx，已知${{∫}_{0}^{1}x}^{\frac{1}{2}}$dx=$\frac{2}{3}$，${∫}_{0}^{1}xdx$=$\frac{1}{2}$，${∫}_{0}^{1}$${x}^{\frac{3}{2}}$dx=$\frac{2}{5}$，${∫}_{0}^{1}$x2dx=$\frac{1}{3}$，${∫}_{0}^{1}$${x}^{\frac{5}{2}}$dx=$\frac{2}{7}$，${∫}_{0}^{1}$x3dx=$\frac{1}{4}$，…，照此规律，当a∈（0，+∞）时，${∫}_{0}^{1}$xndx=$\frac{2}{2a+2}$．分析 由所给定积分，即可归纳得出结论．
解答 解：${{∫}_{0}^{1}x}^{\frac{1}{2}}$dx=$\frac{2}{3}$，${∫}_{0}^{1}xdx$=$\frac{1}{2}$，${∫}_{0}^{1}$${x}^{\frac{3}{2}}$dx=$\frac{2}{5}$，${∫}_{0}^{1}$x2dx=$\frac{1}{3}$，${∫}_{0}^{1}$${x}^{\frac{5}{2}}$dx=$\frac{2}{7}$，${∫}_{0}^{1}$x3dx=$\frac{1}{4}$，…，照此规律，当a∈（0，+∞）时，${∫}_{0}^{1}$xndx=$\frac{2}{2a+2}$，
故答案为$\frac{2}{2a+2}$．
点评 本题考查定积分的计算，考查归纳推理，比较基础．
练习册系列答案
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17．设集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∪B=（ ）
| A． | {1，2} | B． | {0，1，2，3} | C． | {x|1≤x≤2} | D． | {x|0≤x≤3} |
14．已知$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（-1，1），则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为（ ）
| A． | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | -$\frac{\sqrt{5}}{5}$ | D． | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ |
如图，曲线C由左半椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，x≤0）和圆N：（x-2）2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q（均异于点A，B）分别是M，N上的动点．
18．大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：
（Ⅰ）设X表示在这块地种植此水果一季的利润，求X的分布列及期望；
（Ⅱ）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．
| 水果产量（kg） | 3000 | 4000 |
| 概率 | 0.4 | 0.6 |
| 水果市场价格（元/kg） | 16 | 20 |
| 概率 | 0.5 | 0.5 |
（Ⅱ）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．
8．在递减等差数列{an}中，a1a3=${a}_{2}^{2}$-4，若a1=13，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和的最大值为（ ）
| A． | $\frac{24}{143}$ | B． | $\frac{1}{143}$ | C． | $\frac{24}{13}$ | D． | $\frac{6}{13}$ |