Question

8．在递减等差数列{a_n}中，a₁a₃=${a}_{2}^{2}$-4，若a₁=13，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和的最大值为（　　）

• A． $\frac{24}{143}$
• B． $\frac{1}{143}$
• C． $\frac{24}{13}$
• D． $\frac{6}{13}$

Answer 1

分析 设公差为d，则d＜0，根据题意求出d，得到数列的通项公式，再求出第7项大于0，第8项小于0，再根据裂项求和，即可求出答案．

解答 解：设公差为d，则d＜0，
∵a₁a₃=${a}_{2}^{2}$-4，a₁=13，
∴13（13+2d）=（13+d）²-4，
解得d=-2或d=2（舍去），
∴a_n=a₁+（n-1）d=13-2（n-1）=15-2n，
当a_n=15-2n≥0时，即n≤7.5，
当a_n+1=13-2n≤0时，即n≥6.5，
∴当n≤7是，a_n＞0
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（15-2n）（13-2n）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-15}$-$\frac{1}{2n-13}$）
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{-13}$-$\frac{1}{-11}$+$\frac{1}{-11}$-$\frac{1}{-9}$+…+$\frac{1}{2n-15}$-$\frac{1}{2n-13}$）=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{2n-13}$），
当n=6时，最大，最大值为$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{13}$+1）=$\frac{6}{13}$
故选：D

点评 本题考查了等差数列的通项公式的求法和数列与函数的关系和裂项求和，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题