Question

已知f(x)=

1

3

x3-x2+ax+1，a∈R
（1）当x∈[0，2]时，f（x）是增函数，求a范围
（2）当a=-3时，求f（x）在[0，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）转化为当x∈[0，2]时，f′（x）≥0恒成立．
（2）求出极值、端点值，其中最大者为最大值，最小者为最小值．

解答：（1）f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，其图象的对称轴为x=1，
所以f′（x）在x∈[0，2]上最小值为a-1，
 又f（x）在[0，2]上是增函数，∴f′（x）≥0恒成立，∴a-1≥0，即a≥1．
故a的取值范围是[1，+∞）．
（2）当a=-3时，f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
∴当x∈[0，3）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（3，4]时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
∴f（x）有唯一极小值点是 x=3，f（3）=-8，又f（0）=1，f（4）=-

17

3

，
所以f（x）的最大值是1，最小值是-8．

点评：本题考查应用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，对于三次函数的有关问题常用导数解决．