Question

20．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinC=$\sqrt{3}$ccosA．
（1）求角A；
（2）若b=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理、商的关系化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；
（2）由条件和三角形的面积公式列出方程，求出c的值，由余弦定理列出方程化简后求出a的值．

解答 解：（1）由题意知，asinC=$\sqrt{3}$ccosA，
由正弦定理得，sinAsinC=$\sqrt{3}$sinCcosA，
∵sinC＞0，∴sinA=$\sqrt{3}$cosA，则tanA=$\sqrt{3}$，
由0＜A＜π得A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵b=2，A=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，则$\frac{1}{2}×2×c×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，解得c=2，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA
=4+4-2×$2×2×\frac{1}{2}$=4，
则a=2．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系的应用，注意内角的范围，考查化简、变形能力．