Question

16．已知椭圆C的中心在坐标原点，F（1，0）为椭圆C的一个焦点，点P（2，y₀）为椭圆C上一点，且|PF|=1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出P的坐标，可得a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论，设直线l的方程为y=kx+1与椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，联立消去y得（3+4k²）x²+8kx-8=0，利用根与系数关系结合$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，由此能求出直线l的方程．

解答 解：（1）由题意得：F（1，0），|PF|=1
∴$1+{y_0}^2=1$，∴y₀=0
∴a=2，b²=3
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1．
（2）①当直线l的斜率不存在时，不合题意．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1与椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1联立，
消去y得（3+4k²）x²+8kx-8=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{3+4{k^2}}}$①，${x_1}{x_2}=-\frac{8}{{3+4{k^2}}}$②
∵$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，
∴x₁=-3x₂③
由①②③得${k^2}=\frac{3}{2}$，
∴$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
∴直线l的方程为$y=\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+1$或$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+1$．

点评 本题考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过处理直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想，是压轴题．