Question

设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H（在△ABC内部），给出以下说法：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC垂心；
③若P到△ABC三边距离等，则H为△ABC的内心；
④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心．
其中正确说法的序号依次是

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：根据三角形垂心，外心，内心的定义及棱锥的几何特征，结合勾股定理，逐一判断题目中四个命题的真假，可得答案．

解答： 解：①若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
②若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
③P是△ABC所在平面外一点，若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得HE，HF，HD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点H是三角形的内心，故正确
④若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，正确．
故答案为：①②③④

点评：根据三角形垂心，外心，内心的定义及棱锥的几何特征，结合勾股定理，逐一判断题目中四个命题的真假，可得答案．