Question

16．在矩形ABCD中，将△ABC沿其对角线AC折起来得到△AB₁C，且顶点B₁在平面ACD上的射影O恰好落在边AD上（如图所示）．
（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）若AB=1，BC=$\sqrt{3}$，求三棱锥B₁-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线面垂直的判定证明AB₁⊥CD，又AB₁⊥B₁C，且B₁C∩CD=C，可得AB₁⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）根据体积公式，由已知求得△ABC的面积，而高即为B₁O，又易证△AB₁D为直角△，则斜边AD上的高B₁O可求，则三棱锥B₁-ABC的体积可求．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC，则AB₁⊥B₁C，
在三棱锥B₁-ACD中，∵B₁O⊥面ACD，∴B₁O⊥CD，
又CD⊥AD，且AD∩B₁O=O，∴CD⊥平面AB₁O，则CD⊥AB₁，
又B₁C∩CD=C，∴AB₁⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）解：由于AB₁⊥平面B₁CD，B₁D?平面ABCD，
∴AB₁⊥B₁D，在Rt△AB₁D中，${B}_{1}D=\sqrt{A{D}^{2}-A{{B}_{1}}^{2}}=\sqrt{2}$，
又由B₁O•AD=AB₁•B₁D，得${B}_{1}O=\frac{A{B}_{1}•{B}_{1}D}{AD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴${V}_{{B}_{1}-ABC}=\frac{1}{3}$S_△ABC•B₁O=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．