Question

【题目】已知函数（）.

（1）写出函数的值域，单调区间（不必证明）；

（2）是否存在实数使得的定义域为，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当时，若， 单调递减； ， 递减的；值域为.当时，在和内是单调递增的.此时值域为.

（2）.

【解析】试题分析：

（1）由对数函数的性质可求得函数的定义域，在定义域内讨论的单调性，结合对数函数与复合函数的性质可得的单调区间，同时得值域；（2）根据函数的单调性知当时有 ，可看成为方程的两个根，且，再根据二次方程根的分布知识可得的范围，同理时，有 ，则有，两式相减得： ，不合题意，从而得出结论．

试题解析：

（1） ，定义域为： ，

且， ， ，则为奇函数；

当时，若， 单调递增，则单调递减；同理， ， 也是递减的；此时值域为.

当时， 在和内是单调递增的，所以是单调递增的.此时值域为.

（2）当，因为定义域为， 在定义域内两个子区间上是单调递减的，

则有 ，可看成为方程的两个根，且，又根据，则有对称轴，

有两个根在，需满足，解得： ；

当，因为定义域为， 是单调递增的，

则有 ，则有，两式相减得： ，不满足题意，所以..