Question

设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形

Answer 1

【答案】分析：先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin²B=sinA•sinC，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．
解答：解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，
∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；
又sinA、sinB、sinC成等比数列，
∴sin²B=sinA•sinC=，②
由①②得：sinA•sin（120°-A）
=sinA•（sin120°cosA-cos120°sinA）
=sin2A+•
=sin2A-cos2A+
=sin（2A-30°）+
=，
∴sin（2A-30°）=1，又0°＜∠A＜120°
∴∠A=60°．
故选D．
点评：本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．