Question

已知

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，-cosx），x∈R，定义函数f（x）=

m

•

n

-

1

2

（1） 求函数．f（x）的最小正周期，值域，单调增区间．
（2） 设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且c=

3

，f（C）=0，若

d

=（1，sinA）与

e

=（2，sinB）
共线，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则求出

m

•

n

，代入f（x）解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的值域和正弦函数的单调增区间即可求出f（x）的值域和单调增区间；
（2）由f（C）=0，代入f（x）的解析式中，根据C的范围，即可得到C的度数，然后根据平面向量平行时满足的条件以及正弦定理得到a与b的关系式，记作①，再根据余弦定理，由c和sinC的值表示出a与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值．

解答：解：（1）由题意可知：f（x）=

m

•

n

-

1

2

=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小正周期T=π，值域为[-2，0]，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴f（x）的增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（2）∵f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，又f（C）=0，
∴f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，又C为△ABC的内角，∴C=

π

3

，
又

d

=（1，sinA）与

e

=（2，sinB）共线，∴sinB=2sinA，根据正弦定理得：b=2a①，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+b²-ab②，
联立①②，解得a=1，b=2．

点评：此题考查学生掌握平面向量的数量积得运算法则及两向量平行时满足的条件，灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，灵活运用正弦、余弦定理化简求值，是一道中档题．