Question

设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，三边 a，b，c成等比数列，则这个三角形的形状是（　　）

A．直角三角形

B．钝角三角形

C．等腰直角三角形

D．等边三角形

Answer 1

分析：根据题意，利用等差数列及等比数列的性质列出关系式，再利用内角和定理求出B的度数，利用正弦定理化简，再利用积化和差公式变形，利用特殊角的三角函数值计算求出cos

A-C

2

=1，确定出A=C，即可确定出三角形形状．

解答：解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，三边a，b，c成等比数列，
∴2B=A+C，b²=ac，
∵A+B+C=180°，∴B=60°，
利用正弦定理化简b²=ac得：sin²B=sinAsinC=

cos A+C 2 -cos A-C 2

2

，即

3

4

=

1 2 -cos A-C 2

2

，
∴cos

A-C

2

=1，即

A-C

2

=0，
∴A-C=0，即A=C=60°，
则这个三角形的形状为等边三角形．
故选D

点评：此题考查了三角形形状的判断，等差数列、等比数列的性质，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．