Question

9．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{e}$为平面向量，若|$\overrightarrow{e}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值为3，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 因为|$\overrightarrow{e}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，所以$\overrightarrow{e}$•|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=3，设$\overrightarrow{e}$与|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的夹角为θ[0，π），利用三角函数的有界限求其最小值．因为|$\overrightarrow{e}$|=1，不妨设坐标为$\overrightarrow{e}$（1，0），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$=2，可设为$\overrightarrow{a}$（1，m），$\overrightarrow{b}$（2，n），利用，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，求出n，m的关系，即可得到$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值．

解答 解：由题意：∵|$\overrightarrow{e}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，
∴$\overrightarrow{e}$•|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=3，
设$\overrightarrow{e}$与|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的夹角为θ[0，π），
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|$•|\overrightarrow{e}|•cosθ$=3，
那么：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\frac{3}{cosθ}$（θ∈[0，π））
当cosθ=1时，即θ=0°时，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值为3．
∵|$\overrightarrow{e}$|=1，不妨设坐标为$\overrightarrow{e}$（1，0），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$=2，可设为$\overrightarrow{a}$（1，m），$\overrightarrow{b}$（2，n），
那么：$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-1，m-n）
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2
∴$\sqrt{1+（m-n）^{2}}=2$
∴（m+n）²=3+4mn≥0
∴$mn≥-\frac{3}{4}$
当且仅m=-n=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号．
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2+mn$≥2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$
故答案为：3，$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了数量积运算性质与三角函数的性质的结合，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．