Question

3．△ABC的重心为G，直线l过顶点A，B、C到直线l的距离为10cm、14cm，求重心C到l的距离．

Answer 1

分析 连结AG并延长，交BC于N，过B作BD⊥l，交直线l于D，过G作GF⊥l，交直线l于F，过N作NH⊥l，交直线l于H，作CE⊥l，交直线l于E，从而得到NH为梯形BDEC的中位线，由此能求出重心G到l的距离．

解答 解：连结AG并延长，交BC于N，
过B作BD⊥l，交直线l于D，
过G作GF⊥l，交直线l于F，
过N作NH⊥l，交直线l于H，
作CE⊥l，交直线l于E，
在△ANH中，GF∥NH，
∴△AGF∽△ANH，
∵G是△ABC的重心，∴N是BC的中点，
∴NH为梯形BDEC的中位线，
∵B、C到直线l的距离为10cm、14cm，
∴NH=$\frac{1}{2}$（BD+CE）=$\frac{1}{2}$（10+14）=12cm，
又∵$\frac{AG}{GH}$=$\frac{2}{1}$，
∴$\frac{GF}{NH}=\frac{AG}{AN}$=$\frac{AG}{AG+GN}$=$\frac{2}{2+1}$=$\frac{2}{3}$，
∴GF=$\frac{2}{3}×$NH=8cm．
∴重心G到l的距离为8cm．

点评 本题考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要注意三角形相似、三角形重心性质、梯形中位线定理的合理运用．