Question

20．求函数y=${2}^{\frac{1}{{x}^{2}+1}}$的定义域和值域．

Answer 1

分析 可以看出定义域为R，而由x²+1≥1，便可得出$\frac{1}{{x}^{2}+1}$的范围，从而根据指数函数的单调性得出${2}^{\frac{1}{{x}^{2}+1}}$的范围，即得出原函数的值域．

解答 解：x²+1≥1；
∴该函数的定义域为R；
x²+1≥1；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+1}≤1$；
∴${2}^{0}＜{2}^{\frac{1}{{x}^{2}+1}}≤{2}^{1}$；
∴1＜y≤2；
∴该函数的值域为（1，2]．

点评 考查函数定义域、值域的概念，二次函数的值域，根据不等式的性质及指数函数的单调性求值域．