Question

已知圆的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A₁、A₂，直线A₁A₂恰好经过椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．
（1）求直线A₁A₂的方程及椭圆C₁的方程；
（2）椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率，求椭圆C₂的方程；
（3）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上，

OB

=2

OA

，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）x=2是圆的一条切线，切点为A₁（2，0），设O为圆心，根据圆的切线性质，MO⊥A₁A₂，由此能求出直线A₁A₂的方程和椭圆C₁的方程．
（2）设椭圆C₂的方程为

y2

a2

+

x2

4

=1，（a＞2），由e=

3

2

能求出椭圆C₂的方程．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB的方程为y=kx，并分别代入

x2

4

+y2=1和

y2

16

+

x2

4

=1，得x12=

4

1+4k2

，x22=

4

1+4k2

，由此能求出直线AB的方程．

解答： 解：（1）观察知，x=2是圆的一条切线，切点为A₁（2，0），（1分）
设O为圆心，根据圆的切线性质，MO⊥A₁A₂，（2分）
所以kA1A2=-

1

kMO

=-

1

2

，（3分）
所以直线A₁A₂的方程为y=-

1

2

(x-2)，（4分）
直线A₁A₂与y轴相交于（0，1），依题意a=2，b=1，（6分）
所求椭圆C₁的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）依题意设椭圆C₂的方程为

y2

a2

+

x2

4

=1，（a＞2），
∵e=

3

2

，∴

1- 4 a2

=

3

2

，解得a²=16，
∴椭圆C₂的方程为

y2

16

+

x2

4

=1．（8分）
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

OB

=2

OA

，∴O，A，B三点共线且不在y轴上，（9分）
∴设直线AB的方程为y=kx，
并分别代入

x2

4

+y2=1和

y2

16

+

x2

4

=1，得：
x12=

4

1+4k2

，x22=

4

1+4k2

，（11分）
∵

OB

=2

OA

，∴x22=4x12，∴

16

4+k2

=

16

1+4k2

，
解得k=±1，∴直线AB的方程为y=x或y=-x．

点评：本题考查直线方程及椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意直线方程、圆、椭圆等知识点的合理运用．