Question

4．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且$EF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则下列结论中正确的是①②③④．
①EF∥平面ABCD；
②平面ACF⊥平面BEF；
③三棱锥E-ABF的体积为定值；
④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30^o．

Answer 1

分析 ①，由EF∥平面ABCD判定；
②，动点E、F运动过程中，AC始终垂直面BEF；
③，三棱锥E-ABF的底△BEF的面积为定值，A到面BEF的距离为定值，故其体积为定值，；
④，令上底面中心为O，当E与D₁重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC₁，可求解∠OBC₁=30⁰．

解答 解：如图：
对于①，∵面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁，EF?面A₁B₁C₁D₁，∴EF∥平面ABCD，故正确；
对于②，动点E、F运动过程中，AC始终垂直面BEF，∴平面ACF⊥平面BEF，故正确；
对于③，三棱锥E-ABF的底△BEF的面积为定值，A到面BEF的距离为定值，故其体积为定值，故正确；
对于④，令上底面中心为O，当E与D₁重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC₁，可求解∠OBC₁=30⁰，故正确．
故答案为：①②③④

点评 本题考查了空间线面、线线、面面位置关系，属于基础题．