Question

13．已知$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{ax+b}$是奇函数，且满足f（1）=2．
（Ⅰ）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的奇偶性求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；（Ⅱ）根据函数单调性的定义证明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）是奇函数，
故f（-x）=$\frac{{x}^{2}+1}{-ax+b}$=-f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{-ax-b}$，
故b=0，
又f（1）=2，故f（1）=$\frac{2}{a}$=2，解得：a=1，
故f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$；
（Ⅱ）设x₁＞x₂≥1，
则f（x₁）-f（x₂）
=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
∵x₁＞x₂≥1，
∴（x₁-x₂）＞0，1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在[1，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数单调性的证明，是一道基础题．