Question

【题目】已知函数，， 为自然对数的底数．

（1）若，，证明：当时，恒成立；

（2）若，，在上存在两个极值点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）根据导函数求出函数的单调性得函数的最值，即可得证；

（2）求出导函数，将问题转化为讨论的零点问题.

解：（1）由题知， ，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以，当时，，命题得证；

（2）由题知：，，

所以与，在上正负同号，

当时，没有零点，在上没有极值点；

当时，令，则

当时，，在）上单调递减，

当时，，在上单调递增，

若，即，，在上没有极值点

若，即；因为，所以在上有1个零点；

由（1）知：所以，

所以在上也有1个零点；

所以，当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

当时，在上有两个极值点：；

所以