Question

【题目】已知焦点在x轴上的椭圆C1的长轴长为8,短半轴为2,抛物线C2的顶点在原点且焦点为椭圆C1的右焦点．

(1)求抛物线C2的标准方程；

(2)过（1，0）的两条相互垂直的直线与抛物线C2有四个交点,求这四个点围成四边形的面积的最小值．

Answer 1

【答案】(1)y2＝8x；(2)96.

【解析】

(1)由已知直接可求出椭圆的,运用椭圆之间的关系求出,最后可求出抛物线C2的标准方程；

(2) 由题意易得两条直线的斜率存在且不为0,设其中一条直线l1的斜率为k,设出直线l1方程与抛物线方程联立,利用一元二次方程根与系数关系,可以求出弦长,同理求出直线l2与抛物线相交时,弦长的表达式,最后求出面积表达式,利用基本不等式可以求出四边形的面积的最小值．

(1)设椭圆半焦距为c（c＞0）,由题意得c．

设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0）,则，∴p＝4,

∴抛物线C2的标准方程为y2＝8x；

(2)由题意易得两条直线的斜率存在且不为0,设其中一条直线l1的斜率为k,直线l1方程为y＝k（x﹣1）,则另一条直线l2的方程为y（x﹣1）,

联立得k2x2﹣（2k2+8）x+k2＝0，△＝32k2+64＞0，设直线l1与抛物线C2的交点为A，B，

则则|AB||x2﹣x1|，

同理设直线l2与抛物线C2的交点为C，D，

则|CD|4．

∴四边形的面积S|AB||CD|4．

，

令t2，则t≥4（当且仅当k＝±1时等号成立），．

∴当两直线的斜率分别为1和﹣1时，四边形的面积最小，最小值为96．