题目内容
【题目】设椭圆
(
)的离心率为
，圆
与
轴正半轴交于点
，圆
在点处的切线被椭圆
截得的弦长为
．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设圆上任意一点
处的切线交椭圆于点
，试判断
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）
； （2）见解析.
【解析】
（I）结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可。（II）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示
，结合三角形相似，证明结论，即可。
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
，由椭圆的离心率为
知，
，
∴椭圆
的方程可设为
.
易求得
，∴点
在椭圆上，∴
，
解得
，∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)当过点
且与圆
相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为
，由(Ⅰ)知，
，
，∴
.
当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为
，
，
∴
，即
.
联立直线和椭圆的方程得
，
∴
，得
.
∵
，
∴
，
，
∴.
综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点
，都有.
在
中，由
与
相似得，
为定值.
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