Question

11．如图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{3}$，F，A分别是椭圆的左焦点和右点顶点，P是椭圆上任意一点，若$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$的最大值是12，则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

Answer 1

分析 由已知得到a=3c，设出P（x₀，y₀）（-3c≤x₀≤3c），把$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$化为含有x₀的函数式，然后利用配方法求得最值，结合$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$的最大值是12求得c，则椭圆方程可求．

解答 解：∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，∴a=3c，
设P（x₀，y₀）（-3c≤x₀≤3c），则
$\overrightarrow{PF}=（-c-{x}_{0}，-{y}_{0}），\overrightarrow{PA}=（a-{x}_{0}，-{y}_{0}）$，
∴$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$=（-c-x₀，-y₀）•（a-x₀，-y₀）
=$-ac+c{x}_{0}-a{x}_{0}+{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$=$-ac+c{x}_{0}-a{x}_{0}+{{x}_{0}}^{2}+{b}^{2}-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{{x}_{0}}^{2}$
=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{{x}_{0}}^{2}-（a-c）{x}_{0}+{b}^{2}-ac$=$\frac{1}{9}{{x}_{0}}^{2}-（a-c）{x}_{0}+{a}^{2}-{c}^{2}-ac$．
=$\frac{1}{9}{{x}_{0}}^{2}-2c{x}_{0}+5{c}^{2}$=$\frac{1}{9}[{{x}_{0}}^{2}-18c{x}_{0}+81{c}^{2}]-4{c}^{2}$=$\frac{1}{9}（{x}_{0}-9c）^{2}-4{c}^{2}$．
∴当x₀=-3c时，$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$有最大值为12c²=12．
∴c²=1，则a²=9，b²=a²-c²=8．
∴所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了利用向量法求最值问题，考查计算能力，是中档题．