Question

6．设{a_n}是各项都为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=13，a₅+b₃=21．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数{a_nb_n}列前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件，利用等差数列和等比数列的通项公式建立方程组，求出公差和公比，由此能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）直接利用错位相减法求数{a_nb_n}列前n项和T_n．

解答 解：（1）设各项都为正数的等比数列{a_n}的公比是q，且q＞0，
等差数列{b_n}的公差是d，
由a₁=b₁=1，a₃+b₅=13，a₅+b₃=21，得
$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}+1+4d=13}\\{{q}^{4}+1+2d=21}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2^n-1，b_n=1+（n-1）d=2n-1；
（2）∵a_nb_n=（2n-1）2^n-1，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=1×2⁰+3×2¹+…+（2n-3）2^n-2+（2n-1）2^n-1．
$2{T}_{n}=1×{2}^{1}+3×{2}^{2}+…+（2n-3）{2}^{n-1}+（2n-1）{2}^{n}$．
两式作差可得：$-{T}_{n}=1+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-（2n-1）{2}^{n}$=$1+\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-（2n-1）{2}^{n}$，
∴${T}_{n}=（n-\frac{3}{2}）{2}^{n+1}+3$．

点评 本题考查数列求和，涉及到等比数列、等差数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法求和等知识，是中档题．