Question

14．北京时间3月10日，CBA半决赛开打，采用7局4胜制（若某对取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格），采用2-3-2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势（新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场），以下是总决赛赛程：

日期	比赛队	主场	客场	比赛时间	比赛地点
17年3月10日	新疆-辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐
17年3月12日	新疆-辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐
17年3月15日	辽宁-新疆	辽宁	新疆	20：00	本溪
17年3月17日	辽宁-新疆	辽宁	新疆	20：00	本溪
17年3月19日	辽宁-新疆	辽宁	新疆	20：00	本溪
17年3月22日	新疆-辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐
17年3月24日	新疆-辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐

（1）若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为$\frac{2}{3}$，客场取胜的概率均为$\frac{1}{3}$，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；
（2）根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元（与主客场无关），若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为$\frac{1}{2}$，设本次半决赛中（只考虑这两支队）组织者所获得的门票收入为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“辽宁队以比分4：1获胜”为事件A，“第i场比赛取胜”记作事件Ai，由赛程表可知：
P（A₁）=P（A₂）=$\frac{1}{3}$，P（A₃）=P（A₄）=P（A₅）=$\frac{2}{3}$．利用P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$A₂A₃A₄A₅）+P（${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$A₃A₄A₅）+P（A₁A₂$\overline{{A}_{3}}$A₄A₅）+P（A₁A₂A₃$\overline{{A}_{4}}$A₅）即可得出．
（2）X的所有可能取值为200，250，300，350．设“辽宁队以4：0取胜”为事件A₄，“四川队以4：0取胜”为事件B₄；“辽宁队以4：1取胜”为事件A₅，“四川队以4：1取胜”为事件B₅；“辽宁队以4：2取胜”为事件A₆，“四队以4：2取胜”为事件B₆；“辽宁队以4：3取胜”为事件A₇，“四川队以4：3取胜”为事件B₇；可得P（X=i）=P（A_i）+P（B_i）即可得出．

解答 解：（1）设“辽宁队以比分4：1获胜”为事件A，“第i场比赛取胜”记作事件Ai，由赛程表可知：
P（A₁）=P（A₂）=$\frac{1}{3}$，P（A₃）=P（A₄）=P（A₅）=$\frac{2}{3}$．
则P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$A₂A₃A₄A₅）+P（${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$A₃A₄A₅）+P（A₁A₂$\overline{{A}_{3}}$A₄A₅）+P（A₁A₂A₃$\overline{{A}_{4}}$A₅）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{40}{243}$…（6分）
（2）X的所有可能取值为200，250，300，350
设“辽宁队以4：0取胜”为事件A₄，“四川队以4：0取胜”为事件B₄；
“辽宁队以4：1取胜”为事件A₅，“四川队以4：1取胜”为事件B₅；
“辽宁队以4：2取胜”为事件A₆，“四川队以4：2取胜”为事件B₆；
“辽宁队以4：3取胜”为事件A₇，“四川队以4：3取胜”为事件B₇；
则P（X=4）=P（A₄）+P（B₄）=$2×（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{8}$．P（X=5）=P（A₅）+P（B₅）=$2×{∁}_{4}^{1}×\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{4}$．
P（X=6）=P（A₆）+P（B₆）=$2×{∁}_{5}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{5}{16}$．
P（X=7）=P（A₇）+P（B₇）=$2×{∁}_{5}^{3}$×$（\frac{1}{2}）^{3}$×$（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{5}{16}$．
∴X的分布列为：

X	200	250	300	350
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$

E（X）=200×$\frac{1}{8}$+250×$\frac{1}{4}$+300×$\frac{5}{16}$+350×$\frac{5}{16}$=290.625．…（12分）

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列的性质及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．