设函数y=f的导函数f′的导函数f″上f″(x)＜0恒成立.则称函数f上为凸函数.已知f(x)=$\frac{1}{12}$x4-$\frac{1}{6}$mx3-$\frac{3}{2}$x2.若当实数m满足|m|≤2.函数f上为凸函数.则b-a的最大值是2．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为凸函数，已知f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{6}$mx³-$\frac{3}{2}$x²，若当实数m满足|m|≤2，函数f（x）在（a，b）上为凸函数，则b-a的最大值是2．

分析利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．

解答解：由函数 $f（x）=\frac{1}{12}{x^4}-\frac{1}{6}m{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}$得，f″（x）=x²-mx-3，
当|m|≤2时，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立?当|m|≤2时，mx＞x²-3恒成立．
当x=0时，f″（x）=-3＜0显然成立．
当x＞0，$x-\frac{3}{x}＜m$，
∵m的最小值是-2．
∴$x-\frac{3}{x}＜-2$．
从而解得0＜x＜1；
当x＜0，$x-\frac{3}{x}＞m$，
∵m的最大值是2，
∴$x-\frac{3}{x}＞2$，
从而解得-1＜x＜0．
综上可得-1＜x＜1，从而（b-a）_max=1-（-1）=2，
故答案为：2．

点评本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．

练习册系列答案

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4．函数$y=sin（2x-\frac{2π}{3}）$（　　）

	A．	在区间$[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$上单调递增		B．	在区间$[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$上单调递减
	C．	在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上单调递减		D．	在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上单调递增

5．当b≠0时，判断函数f（x）=x²+bln（x+1）在其定义域上的单调性．

2．用数学归纳法证明：
（1）1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1）（n∈N^*）；
（2）1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N^*）；
（3）1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1（n∈N^*）．

9．设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（b-1）x的两个极值点，若b≥$\frac{7}{2}$，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的最大值为（　　）

19．直线y=$\frac{1}{2}$x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b=（　　）