Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=

1

4

x²的焦点，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a≥b≥1）的离心率

3

2

，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，过右焦点的直线交椭圆A、B两点且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），当|AB|＜

3

时，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率e=

c

a

=

3

2

，抛物线方程化为x²=4y，其焦点为（0，1），即b=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设AB方程为y=k（x-3），由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵离心率e=

c

a

=

3

2

，∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，
整理，得a²=b²，
抛物线方程化为x²=4y，其焦点为（0，1），
∴b=1，
∴a²=4，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），AB方程为y=k（x-3），
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，
由△=24k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0，得k2＜

1

5

，
x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1x2=

36k2-4

1+4k2

，
∴

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
则x=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

，
y=

1

t

(y1+y2)=

1

t

[k(x1+x2)-6k]=

-6k

t(1+4k2)

，
由点P在椭圆上，得

(24k2)2

t2(1+4k2)2

+

144k2

t2(1+4k2)2

=4，
化简，得36k²=t²（1+4k²），①
又曲|AB|=

1+k2

|x1-x2|＜

3

，
即（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]＜3，
将x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1x2=

36k2-4

1+4k2

代入，得：
（1+k²）[

242k2

(1+4k2)2

-

4(36k2-4)

1+4k2

]＜3，
化简，得（8k²-1）（16k²+13）＞0，
则8k2-1＞0，k2＞

1

8

，
∴

1

8

＜k2＜

1

5

，②
由①，得t2=

36k2

1+4k2

=9-

9

1+4k2

，
联立②得3＜t²＜4，
∴-2＜t＜-

3

或

3

＜t＜2．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．