题目内容
18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且|AB|=$\sqrt{7}$．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1、l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点，求证：线段PQ的中点在直线OT上．
分析 （1）根据条件运用离心率公式和两点距离公式，求出a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）设PQ的方程为：x=my+1代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系，求得PQ的中点G的坐标，求出OG和OT的斜率，即可得证．
解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又a2-b2=c2，
$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
故所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：设直线PQ的方程为：x=my+1，
代入椭圆方程3x2+4y2=12，
得（3m2+4）y2+6my-9=0，
则判别式△=36m2+4×9（3m2+4）＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点G（x0，y0），
则y1+y2=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y1y2=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
则y0=$\frac{1}{2}$（y1+y2）=-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$，x0=my0+1=$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$，
即G（$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$，-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$），
kOG=-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$•$\frac{3{m}^{2}+4}{4}$=-$\frac{3m}{4}$，
设直线FT的方程为：y=-m（x-1），得T点坐标为（4，-3m），
由kOT=-$\frac{3m}{4}$，
可得kOG=kOT，
即线段PQ的中点在直线OT上．
点评 本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系是应用，利用直线和椭圆方程联立转化为一元二次方程问题是解决本题的关键．考查学生的计算能力，运算量较大，属于中档题．
| A． | x-y-5=0 | B． | x+y-5=0 | C． | x-y+5=0 | D． | x+y+5=0 |
| A． | a＞b＞c | B． | b＞c＞a | C． | b＞a＞c | D． | a＞c＞b |