Question

已知P为椭圆

x2

16

+

y2

9

=1上的一点，B₁，B₂分别为椭圆的上、下顶点，若△PB₁B₂的面积为6，则满足条件的点P的个数为（　　）

• A、0
• B、2
• C、4
• D、6

Answer 1

分析：根据椭圆的方程，算出椭圆的短轴|B₁B₂|=2b=6．设点P的坐标为（m，n），由△PB₁B₂的面积为6，根据三角形面积公式建立关于m的等式，解出m=±2．再由点P在椭圆上解出n=±

3 3

2

，从而得到满足条件的点P共有4个．

解答：解：∵椭圆

x2

16

+

y2

9

=1中，a=4，b=3，
∴椭圆的短轴|B₁B₂|=2b=6．
设椭圆上点P的坐标为（m，n）
∵△PB₁B₂的面积为6，
∴

1

2

|B₁B₂|•|m|=6，即

1

2

×6×|m|=6，解得m=±2．
将P（±2，n）代入椭圆的方程，得

4

16

+

n2

9

=1，解得n=±

3 3

2

．
因此，符合题意的点P为（2，±

3 3

2

）或（-2，±

3 3

2

），共4个满足条件的点P．
故选：C

点评：本题给出椭圆的方程，已知椭圆上点P与短轴B₁B₂构成面积为6的三角形，求点P的个数．着重考查了三角形的面积公式、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．