Question

已知P是椭圆

x2

16

+

y2

8

=1上任意一点，EF是圆M：x²+（y-2）²=1的直径，则

PE

•

PF

的最大值为

23

．

Answer 1

分析：根据题意可求得

PE

•

PF

=

MP

2-1进而将问题转化为求

MP

2的最大值设P（x₀，y₀），代入椭圆的方程，根据点N的坐标表示出

MP

2根据y₀的范围求得，

MP

2取最大值进而求得

PE

•

PF

的最大值．

解答：解：

PE

•

PF

=(

ME

-

MP

)•(

MF

-

MP

)=(-

MF

-

MP

)•(

MF

-

MP

)=(-

MP

)2-

MF

2=

MP

2-1
从而将求

PE

•

PF

的最大值转化为求

MP

2的最大值
是椭圆M上的任一点，设P（x₀，y₀），则有

x 02

16

+

y 02

8

=1即x₀²=16-2y₀²
又M（0，2），所以

MP

2=x02+(y0-2)2=-(y0+2)2+24
而y₀∈[-2

2

，2

2

]，所以当y₀=-2时，

MP

2取最大值24，
故

PE

•

PF

的最大值为23．
故答案为：23．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的问题，向量的基本计算．考查了学生分析问题和解决问题的能力．