Question

对任意两实数a，b，定义运算“*”：a*b=

a，a≥b b，a＜b

，关于函数f（x）=e^-x*e^x-1给出下列四个结论：
①函数f（x）为偶函数；
②函数f（x）的最小值是

1

e

③函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
④函数f（x）的图象与直线y=e（x+1）有公共点
其中正确结论的序号是（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、①④
• D、②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：求出函数的解析式，利用函数的对称性判断①的正误；求出函数的最小值判断②的正误；利用函数的单调性判断③的正误；利用函数的图象的交点判断④的正误；

解答： 解：由题意可得函数f（x）=e^-x*e^x-1=

e-x，x≤ 1 2 ex-1，x＞ 1 2

，
对于①，∵f（1）=1，f（-1）=e，∴①不正确；
对于②，函数f（x）=e^-x*e^x-1=

e-x，x≤ 1 2 ex-1，x＞ 1 2

的图象为：
当x=

1

2

时，函数的最小值为：

1

e

，∴②正确；
对于③，由函数的图象可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增不正确，∴③不正确；
对于④，直线y=e（x+1）过（0，e），（-1，0），由函数的图象可知，函数f（x）的图象与直线y=e（x+1）有公共点，
∴④正确；
故选：D．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，命题的真假的判断，考查数形结合思想的应用，考查计算能力．