题目内容
定义两个平面向量|
|，|
|的一种运算
?
=|
||
|sinθ，（其中向量
，
的夹角为θ），则以下等式中：
①若
∥
，则
?
=0；
②
?
=
?
；
③λ（
?
）=（λ
）?
；
④（
?
）2+（
•
）2=|
|2•|
|2．
其中恒成立的是 （填写序号）．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
①若
| a |
| b |
| a |
| b |
②
| a |
| b |
| b |
| a |
③λ（
| a |
| b |
| a |
| b |
④（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
其中恒成立的是
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：利用新定义和数量积运算即可判断出．
解答：
解：①若
∥
，则＜
，
＞=0或π，∴sin＜
，
＞=0，∴
?
=0，因此恒成立；
②
?
=|
||
|sinθ=
?
，因此恒成立；
③λ（
?
）=λ|
| |
|sin θ，（λ
）?
=|λ||
| |
|sin φ，
（φ是λa与b的夹角），当λ＜0时不成立；
④由
?
=|
| |
|sin θ，
•
=|
| |
|cos θ，可知：（
?
）2+（
•
）2=|
|2•|
|2．∴④恒成立．
综上可得：恒成立的是①②④．
故答案为：①②④．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
②
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
③λ（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（φ是λa与b的夹角），当λ＜0时不成立；
④由
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
综上可得：恒成立的是①②④．
故答案为：①②④．
点评：本题考查了新定义和数量积运算，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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