Question

11．设区间D=[-3，3]，定义在D上的函数f（x）=ax³+bx+1（a＞0，b∈R），集合A={a|?x∈D，f（x）≥0}．???
（1）若b=$\frac{1}{6}$，求集合A；
（2）设常数b＜0?
         ①讨论f（x）的单调性；
         ②若b＜-1，求证：A=∅．??

Answer 1

分析 （1）把b=$\frac{1}{6}$代入函数解析式，求出导函数，由f′（x）=$3a{x}^{2}+\frac{1}{6}$＞0，可知f（x）在[-3，3]上为增函数，求出函数的最小值，由最小值大于0求得a的取值范围；
（2）①求出函数的导函数，解得导函数的零点，然后根据$\sqrt{-\frac{b}{3a}}$与3的关系分类求得函数的单调区间；
②当b＜-1时，由①可知，当0＜a≤$-\frac{b}{27}$时，f（x）在[-3，3]上单调递减，求得函数的最小值小于0，这与?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；
当a＞-$\frac{b}{27}$时，由①可得f（x）_min={f（-3），f（$\sqrt{-\frac{b}{3a}}$）}，若f（-3）=-27a-3b+1＜0，这与?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；若f（-3）=-27a-3b+1＞0，证明f（$\sqrt{-\frac{b}{3a}}$）＜0，这与?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在．

解答 （1）解：当b=$\frac{1}{6}$时，f（x）=$a{x}^{3}+\frac{1}{6}x+1$，f′（x）=$3a{x}^{2}+\frac{1}{6}$＞0，
∴f（x）在[-3，3]上为增函数，则$f（x）_{min}=f（-3）=-27a-\frac{1}{2}+1$=$\frac{1}{2}-27a$．
由$\frac{1}{2}-27a≥0$，解得a$≤\frac{1}{54}$．
∴A={a|?x∈D，f（x）≥0}=（0，$\frac{1}{54}$]；
（2）①解：f（x）=ax³+bx+1，f′（x）=3ax²+b，
∵a＞0，b＜0，
∴由f′（x）=3ax²+b=0，得${x}^{2}=-\frac{b}{3a}$＞0，则x=$±\sqrt{-\frac{b}{3a}}$．
若27a+b≤0，则$\sqrt{-\frac{b}{3a}}≥3$，则f′（x）≤0在[-3，3]上恒成立，f（x）在[-3，3]上为减函数；
若27a+b＞0，则当x∈[-3，$-\sqrt{-\frac{b}{3a}}$）∪（$\sqrt{-\frac{b}{3a}}$，3]时，f′（x）＞0，
当x∈（$-\sqrt{-\frac{b}{3a}}，\sqrt{-\frac{b}{3a}}$）时，f′（x）＜0．
∴函数的增区间为[-3，$-\sqrt{-\frac{b}{3a}}$），（$\sqrt{-\frac{b}{3a}}$，3]，减区间为（$-\sqrt{-\frac{b}{3a}}，\sqrt{-\frac{b}{3a}}$）；
②证明：当b＜-1时，由①可知，当0＜a≤$-\frac{b}{27}$时，f（x）在[-3，3]上单调递减，
∴f（x）_min=f（3）=27a+3b+1≤-b+3b+1=2b+1＜-1＜0，
这与?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；
当a＞-$\frac{b}{27}$时，f（x）在[-3，$-\sqrt{-\frac{b}{3a}}$），（$\sqrt{-\frac{b}{3a}}$，3]上递增，在（$-\sqrt{-\frac{b}{3a}}，\sqrt{-\frac{b}{3a}}$）上递减，
∴f（x）_min={f（-3），f（$\sqrt{-\frac{b}{3a}}$）}，
若f（-3）=-27a-3b+1＜0，这与?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；
若f（-3）=-27a-3b+1＞0，令${x}_{1}=\sqrt{-\frac{b}{3a}}$，此时f（x₁）=$a{{x}_{1}}^{3}+b{x}_{1}+1$．
又f′（x₁）=$3a{{x}_{1}}^{2}+b=0$，则$a{{x}_{1}}^{2}=-\frac{b}{3}$．
f（x₁）=$a{{x}_{1}}^{3}+b{x}_{1}+1={x}_{1}（-\frac{b}{3}）+b{x}_{1}+1$=$\frac{2b}{3}\sqrt{-\frac{b}{3a}}+1=-\sqrt{-\frac{4{b}^{3}}{27a}}+1$．
下面证明$-\sqrt{-\frac{4{b}^{3}}{27a}}+1＜0$，也即证-4b³＞27a，
∵a＞-$\frac{b}{27}$，且-27a-3b+1＞0，即27a＜-3b+1．
再证-4b³＞-3b+1，
令g（b）=4b³-3b+1，则g′（b）=12b²-3＞0（b＜-1），
∴g（b）在（-∞，-1]上单调递增，则g（b）＜g（-1）=0．
即f（x₁）＜0，这与?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在．
综上所述，A=∅．?

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法、逻辑思维能力、灵活变形能力及推理运算能力，难度较大．