Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知是等边三角形，平面，，，点为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） .

【解析】

（1）取BC的中点Q，连MQ与DQ，可证得四边形为平行四边形，故，根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）取AB的中点N，连接AN，根据条件可得到平面，且四边形为直角梯形，即确定了三棱锥的高和底面，然后利用可得所求体积．

（1）证明：取PC的中点Q，连接MQ与DQ，

∵为的中位线，

∴，且．

又，

∴,且．

∴四边形为平行四边形，

∴．

又平面，平面，

∴平面．

（2）取AB的中点N，连接AN，

∵为等边三角形，

∴．

∵平面，平面，

∴平面平面．

又平面平面，

∴平面．

∵

∴四边形为直角梯形，

∵，

∴．