Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b-a=c-b=1且C=2A，则cosA=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：根据已知等式表示出b与c，利用余弦定理得到cosC与cosA，将表示出的b与c代入表示出cosC与cosA，根据C=2A，得到cosC=cos2A=2cos²A-1，将表示出的cosC与cosA代入求出a的值，即可确定出cosA的值．

解答： 解：由b-a=c-b=1，得到b=a+1，c=a+1，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+(a+1)2-(a+1)2

2a(a+1)

=

a-3

2a

，
cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(a+1)2+(a+2)2-a2

2(a+1)(a+2)

=

a+5

2(a+2)

，
∵C=2A，∴cosC=cos2A=2cos²A-1，
即

a-3

2a

=2[

a+5

2(a+2)

]²-1，
解得：a=4，
∴cosA=

a+5

2(a+2)

=

4+5

2×(4+2)

=

3

4

．
故答案为：

3

4

点评：此题考查了余弦定理，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．