题目内容

已知函数f(x)=
1
x+1

(Ⅰ)设g(x)=f(x)•1nx,判断函数g(x)在(0,+∞)上是否存在极大值,并说明理由.
(Ⅱ)如图,曲线y=f(x)在点Q(0,1)处的切线与x轴交于点P1,过点P1作x轴的垂线交曲线于点Q1;曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2,过点P2作x轴的垂线交曲线于点Q2;依次重复上述过程得到点列:P1,P2,P3,…,Pn(n∈N*),设点Pn的坐标为(an,0),求数列{an}的通项公式,并证明:
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
3
2
-
1
2n
考点:数列与不等式的综合,函数在某点取得极值的条件
专题:导数的综合应用,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用
分析:(I)g(x)=f(x)•1nx=
lnx
x+1
(x>0),g′(x)=
1
(x+1)2
(
x+1
x
-lnx)
.设h(x)=
x+1
x
-lnx
=1+
1
x
-lnx.利用导数判定h(x)在区间(e,e2)内存在唯一零点,即可得到函数g(x)在(0,+∞)上存在极大值.
(II)由f′(x)=-
1
(x+1)2
,则f′(0)=-1,可得切线QP1的方程为:y=-x+1.由已知可得Qn-1(an-1
1
an-1+1
)
,则切线Qn-1Pn的方程为y-
1
an-1+1
=-
1
(an-1+1)2
(x-an-1)
.可得an=2an-1+1(n≥2).
an+1=2(an-1+1)(n≥2),则数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.可得an=2n-1.于是
n
i=1
1
ai
=1+
1
22-1
+…+
1
2n-1
1+
1
22
+
…+
1
2n
,再利用等比数列的前n项和公式即可得出.
解答: 解:(I)g(x)=f(x)•1nx=
lnx
x+1
(x>0),g′(x)=
1
(x+1)2
(
x+1
x
-lnx)

设h(x)=
x+1
x
-lnx
=1+
1
x
-lnx.
h(x)=-
1
x2
-
1
x
=-
1+x
x2
<0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递减,
∵h(e)=
1
e
0,h(e2)=
1
e2
-1
<0,
∴h(x)在区间(e,e2)内存在唯一零点,即存在x0∈(e,e2),使得h(x0)=0.
∴当0<x<x0时,h(x)>0,从而g′(x)>0;当x>x0s时,h(x)<0,从而g′(x)<0.
∴g(x)在区间(0,x0)上是增函数,在区间(x0,+∞)上是减函数,
∴x0为函数g(x)的极大值点.故函数g(x)在(0,+∞)上存在极大值.
(II)∵f′(x)=-
1
(x+1)2
,则f′(0)=-1,
∴切线QP1的方程为:y=-x+1.令y=0,则x=1.
∴a1=1.由已知可得Qn-1(an-1
1
an-1+1
)
,则切线Qn-1Pn的方程为y-
1
an-1+1
=-
1
(an-1+1)2
(x-an-1)

令y=0,则x=2an-1+1,∴an=2an-1+1(n≥2).
∵an+1=2(an-1+1)(n≥2),则数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
an+1=2n,即an=2n-1
因此
n
i=1
1
ai
=1+
1
22-1
+…+
1
2n-1
1+
1
22
+
…+
1
2n
=1+
1
4
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
=
3
2
-
1
2n
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了转化方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.
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