Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；
（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接BD．
因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以△ABD为正三角形．
又Q为AD中点，所以AD⊥BQ．
因为PA=PD，Q为AD的中点，所以AD⊥PQ．
又BQ∩PQ=Q，所以AD⊥平面PQB．
（Ⅱ）当t=

1

3

时，PA∥平面MQB．
下面证明：连接AC交BQ于N，连接MN．
因为AQ∥BC，所以

AN

NC

=

AQ

BC

=

1

2

．
因为PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，
所以MN∥PA，
所以

PM

MC

=

AN

NC

=

1

2

，所以PM=

1

3

PC，即t=

1

3

．（9分）
（Ⅲ）因为PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，所以PQ⊥平面ABCD．
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz．
由PA=PD=AD=2，则有A（1，0，0），B(0，

3

，0)，P(0，0，

3

)．
设平面MQB的法向量为

n

=（x，y，z），由

PA

=(1，0，-

3

)，

QB

=(0，

3

，0)且

n

⊥

PA

，

n

⊥

QB

，可得

x- 3 z=0 3 y=0

令z=1，得x=

3

，y=0．
所以

n

=(

3

，0，1)为平面MQB的一个法向量．
取平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
则cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

2×1

=

1

2

，故二面角M-BQ-C的大小为60°．