题目内容

函数y=3
x-5
+4
6-x
的最大值
 
．
分析：因为(
x-5
)2+(
6-x
)2=1，所以可以考虑用三角换元来求最值，设
x-5
，
6-x
一个为某个角的正弦，则另一个必为同角的余弦，再利用辅助角公式，化一角一函数，最后利用正弦函数的有界性即可求出y的最大值．
解答：解：∵(
x-5
)2+(
6-x
)2=1，∴可设
x-5
=sinα，则
6-x
=cosα，（α∈[0，
π
2
]
y=3
x-5
+4
6-x
变形为y=3sinα+4cosα=5sin（α+∅），（tan∅=
4
3
）
当α+∅=
π
2
时，y有最大值5
故答案为5
点评：本题考查了换元法在求最值中的应用，做题时应注意观察，找到突破口．
练习册系列答案
相关题目
下列各式中正确的有
（3）
（3）
．（把你认为正确的序号全部写上）
（1）[(-2)2]
1
2
=-
1
2
；
（2）已知loga
3
4
＜1，则a＞
3
4
；
（3）函数y=3x的图象与函数y=-3-x的图象关于原点对称；
（4）函数y=x
1
2
是偶函数；
（5）函数y=lg（-x2+x）的递增区间为（-∞，
1
2
]．
选修4-5（不等式选讲）
（Ⅰ）求函数y=3
x-5
+4
6-x
的最大值；
（Ⅱ）已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）
（选做题）请考生在A、B、C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
A．选修4-1（几何证明选讲）已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切与点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．
（Ⅰ）求证：BA•DC=GC•AD；（Ⅱ）求BM．
B．选修4-4（坐标系与参数方程）求直线
x=1+4t
y=-1-3t
（t为参数）被曲线ρ=
2
cos(θ+
π
4
)所截的弦长．
C．选修4-5（不等式选讲）（Ⅰ）求函数y=3
x-5
+4
6-x
的最大值；
（Ⅱ）已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）．
（选修4-5；不等式选讲）求函数y=3
x-5
+4
6-x
的最大值．
（选修4-5：不等式选讲）
（1）设a，b是非负实数，求证：a2+b2≥
ab
(a+b)
（2）求函数y=3
x-5
+4
6-x
的最大值．

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