题目内容
选修4-5（不等式选讲）
（Ⅰ）求函数y=3
+4
的最大值；
（Ⅱ）已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）
（Ⅰ）求函数y=3
| x-5 |
| 6-x |
（Ⅱ）已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）
分析：（Ⅰ）利用柯西不等式，即可求出函数的最大值；
（Ⅱ）利用作差法，再进行配方，即可证得结论．
（Ⅱ）利用作差法，再进行配方，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：由题意，由柯西不等式得：（3
+4
）2≤（32+42）（x-5+6-x）=25
∴3
+4
≤5
∴函数y=3
+4
的最大值为5；
（Ⅱ）证明：a4+6a2b2+b4-4ab（a2+b2）=（a2+b2）2-4ab（a2+b2）+4a2b2=（a2+b2-2ab）2=（a-b）4
∵a≠b，∴（a-b）4＞0
∴a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）
| x-5 |
| 6-x |
∴3
| x-5 |
| 6-x |
∴函数y=3
| x-5 |
| 6-x |
（Ⅱ）证明：a4+6a2b2+b4-4ab（a2+b2）=（a2+b2）2-4ab（a2+b2）+4a2b2=（a2+b2-2ab）2=（a-b）4
∵a≠b，∴（a-b）4＞0
∴a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）
点评：本题主要考查运用柯西不等式求最值，考查作差法证明不等式，属于中档题．
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