Question

（选做题）请考生在A、B、C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
A．选修4-1（几何证明选讲）已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切与点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．
（Ⅰ）求证：BA•DC=GC•AD；（Ⅱ）求BM．
B．选修4-4（坐标系与参数方程）求直线

x=1+4t y=-1-3t

（t为参数）被曲线ρ=

2

cos(θ+

π

4

)所截的弦长．
C．选修4-5（不等式选讲）（Ⅰ）求函数y=3

x-5

+4

6-x

的最大值；
（Ⅱ）已知a≠b，求证：a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．

Answer 1

分析：A．（Ⅰ）因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°因为∠BAG=∠ADC，所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以

BA

AD

=

AG

DC

，由此能够证明BA•DC=GC•AD．
（Ⅱ）因为AC=12，所以AG=6，因为AB=10，所以BG=

AB2-AG2

=8，由Rt△AGB∽Rt△DCA，所以

AB

AD

=

BG

AC

，所以圆的直径2r=15，由此能求出BM．
B．由

x=1+4t y=-1-3t

得直线的普通方程为3x+4y+1=0，由ρ=

2

cos(θ+

π

4

)=cosθ-sinθ，得(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，再由点到直线的距离公式能名求出所求的弦长．
…（12分）
C．（Ⅰ）函数定义域为[5，6]，y＞0．由y=3

x-5

+4

6-x

=3•

x-5

+4•

6-x

≤

32+42

×

( x-5 )2+( 6-x )2

=5，能求出y_max．
（Ⅱ）a⁴+6a²b²+b⁴-4ab（a²+b²）

=a4-2a2b2+b4-4ab(a2-2ab+b2)

=（a-b）⁴，由此能够证明a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．

解答：A．（Ⅰ）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°
又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°
又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）
所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以

BA

AD

=

AG

DC

又因为OG⊥AC，所以GC=AG
所以

BA

AD

=

GC

DC

，即BA•DC=GC•AD…（6分）
（Ⅱ）解：因为AC=12，所以AG=6，
因为AB=10，所以BG=

AB2-AG2

=8
由（1）知：Rt△AGB∽Rt△DCA，所以

AB

AD

=

BG

AC

所以AD=15，即圆的直径2r=15
又因为AB²=BM•（BM+2r），即BM²+15BM-100=0
解得BM=5．…（12分）
B．解：由

x=1+4t y=-1-3t

得直线的普通方程为3x+4y+1=0，
∵ρ=

2

cos(θ+

π

4

)=cosθ-sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-ρsinθ∴x²+y²=x-y，
即(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d=

1

10

，
∴所求的弦长为2×

1 2 - 1 100

=

7

5

．
…（12分）
C．解：（Ⅰ）函数定义域为[5，6]，y＞0．
∵y=3

x-5

+4

6-x

=3•

x-5

+4•

6-x

≤

32+42

×

( x-5 )2+( 6-x )2

=5
当且仅当x-5=6-x时，即当x=

11

2

时，
y_max=5．…（6分）
（Ⅱ）a⁴+6a²b²+b⁴-4ab（a²+b²）

=a4-2a2b2+b4-4ab(a2-2ab+b2)

=（a²-b²）²-4ab（a-b）²=（a+b）²（a-b）²-4ab（a-b）²
=（a-b）²（a²+2ab+b²-4ab）=（a-b）²（a-b）=（a-b）⁴
∵a≠b，
∴(a-b)4＞0
∴a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．…（12分）

点评：A考查直线与圆的位置关系，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形相似的性质和应用；
B考查参数方程和极坐标，是基础题．解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线的距离公式的灵活运用；
C考查不等式的性质和证明，是基础题．解题时要认真审题，注意作差法在不等式证明中的灵活运用．