Question

数列1,1+2,1+2+2²,…,1+2+2²+…+2^n-1,…的前n项和S_n等于(    )

A.2ⁿ                         B.2ⁿ-n                C.2ⁿ⁺¹-n            D.2ⁿ⁺¹-n-2

Answer 1

思路解析:已知条件中给出了数列的通项公式,但形式比较复杂,容易看到其通项是由一个等比数列的前n项和所构成,故可考虑先利用求和公式,将其化简,然后再考虑求这个数列的前n项和,通过计算后可以发现,要求数列的通项又可以视为一个等差数列的通项与一个等比数列的通项之和,故在求其和的过程中,可以将其视为两部分,一部分是等差数列的前n项和,而另一部分是等比数列的前n项和,从而将问题解决.

由题意得,该数列的通项公式是a_n=1+2+2²+…+2^n-1==2ⁿ-1,

故S_n=(2¹-1)+(2²-1)+(2³-1)+…+(2ⁿ-1)=(2¹+2²+…+2ⁿ)-n=-n=2ⁿ⁺¹-n-2,

故选D.(注:可以考虑通过取特殊的n值检验)

答案:D